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Eletrônica digital IV-10 : Diagramas de Veitch-Karnaugh

Determinando circuitos a partir da tabela de verdade

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Em geral, a primeira ação a tomar no desenvolvimento de circuitos é determinar o que ele deve fazer. Para circuitos lógicos, isso é dado pela tabela de verdade.

A tabela a seguir representa um circuito de 3 entradas (A, B e C) e uma saída S. A coluna Comb significa combinação. É apenas uma numeração seqüencial das combinações das entradas para referências no texto.

Tabela 01
Comb	A	B	C	S
0	0	0	0	1
1	0	0	1	0
2	0	1	0	1
3	0	1	1	0
4	1	0	0	1
5	1	0	1	1
6	1	1	0	1
7	1	1	1	0

Deseja-se desenvolver um circuito lógico que execute a tabela.

O procedimento a seguir descrito é possivelmente um dos mais simples, embora não seja o mais eficiente.

Em primeiro lugar, consideram-se somente as combinações de saída não zero. Elas são as de números 0, 2, 4, 5 e 6.

Fig 01

A cada combinação de saída não nula, corresponde um bloco E com número de entradas igual ao da tabela (3 neste caso). Portanto, são 5 blocos E conforme Figura 01.

Em cada bloco E, são adicionados inversores (blocos NÃO) em cada entrada com valor zero na combinação.

A saída de cada bloco E é ligada à entrada de um bloco OU. A saída desse bloco é a saída S do circuito.

Conforme já dito, este método não é dos mais eficientes. Os circuitos são grandes demais e podem ser mais simples, o que é objeto dos próximos tópicos.

Diagramas de Veitch Karnaugh

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O método de Veitch Karnaugh consiste em representar graficamente os valores das variáveis de entrada e os correspondentes valores da saída. A simplificação é obtida pela observação dos grupos formados.

Seja uma tabela de verdade simples, com apenas duas entradas e uma saída.

Tabela 01
Comb	A	B	S
0	0	0	0
1	0	1	1
2	1	0	1
3	1	1	1

Na Figura 01 (a), são representados:

• quadrados acima da linha horizontal   →  A = 0
• quadrados abaixo da linha horizontal  →  A = 1


• quadrados à esquerda da linha vertical → B = 0
• quadrados à direita da linha vertical  → B = 1

Exemplo de diagrama de Veitch Karnaugh para 2 variáveis

Fig 01

As saídas são marcadas pelas sobreposições.

Por exemplo, o quadrado inferior esquerdo é a sobreposição de A = 1 e B = 0, correspondendo à combinação de número 2 da tabela. A saída respectiva é S = 1 e é indicada no quadrado.

Procede-se de forma análoga para as demais combinações da tabela de verdade.

Uma vez inseridas todas as saídas, devem ser identificados todos os pares não diagonais possíveis de valores não nulos, mesmo que sobrepostos.

Há, portanto, dois pares possíveis:

Par 1: equivalente a A
Par 2: equivalente a B.

E a saída é uma função OU dos pares: S = A + B.

Esse resultado é um bloco OU simples, indicado em (b) da Figura 01.

Considera-se agora a tabela de verdade segundo Tabela 02 a seguir.

Tabela 02
Comb	A	B	S
0	0	0	0
1	0	1	0
2	1	0	0
3	1	1	1

A Figura 02 (a) exibe o diagrama de Veitch-Karnaugh para essa tabela de verdade.

Exemplo de diagrama de Veitch-Karnaugh para a função E (AND)

Fig 02

Neste caso, não há formação de pares.

A saída S = 1 está isolada e deve ser entendida como uma função E das entradas sobrepostas, isto é,

S = A . B

O resultado é, portanto, um bloco E simples conforme (b) da figura.

Diagrama de Veitch Karnaugh para 3 variáveis

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A tabela de verdade para o exemplo deste tópico é a mesma usada no tópico Determinando circuitos a partir da tabela de verdade desta página.

O diagrama para as três variáveis é dado em (a) da Figura 01.

O preenchimento é feito de modo similar ao do diagrama de duas variáveis já visto.

Tabela 01
Comb	A	B	C	S
0	0	0	0	1
1	0	0	1	0
2	0	1	0	1
3	0	1	1	0
4	1	0	0	1
5	1	0	1	1
6	1	1	0	1
7	1	1	1	0

Exemplo: a combinação 0 tem A = 0, B = 0 e C = 0. É, portanto, a interseção de A, B e C. Marca-se então 1 no quadrado correspondente porque a saída S tem esse valor segundo a tabela.

Outro exemplo: para a combinação 6, A = 1, B = 1 e C = 0. Portanto, A, B e C. E o quadrado é marcado com o valor da saída conforme tabela (1).

Exemplo de diagrama de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis

Fig 01

No diagrama de duas variáveis, os grupos de valores 1 só podem se pares. Para três variáveis, podem ser quadras e pares.

As seguintes regras devem ser observadas:

• quadras (e também pares) podem ser formadas por elementos não adjacentes se estiverem na borda (neste caso, são considerados adjacentes).

• pares devem estar fora das quadras ou podem ter um elemento comum. Não valem os pares com os dois elementos no interior de uma quadra.

No diagrama da Figura 01 (a) são identificados:

• par AB (interseção da área A com a área B).
• quadra C (toda na área C).

Portanto, a expressão lógica da saída é

S = AB + C

O circuito corresponde é dado em (b) da figura. Comparando com o circuito obtido para a mesma tabela de verdade no tópico Determinando circuitos a partir da tabela de verdade, nota-se que a simplificação é considerável.

Cabe lembrar que o diagrama de Veitch-Karnaugh pode ser construído a partir da expressão booleana no lugar da tabela de verdade. Para o circuito não simplificado do tópico mencionado (Determinando circuitos a partir da tabela de verdade), a expressão lógica é:

S = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C

Basta, portanto, considerar cada parcela como saída 1 no diagrama e os demais quadrados nulos.

Diagrama de Veitch Karnaugh para 4 variáveis

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Seja agora o exemplo, conforme Tabela 01 a seguir, de uma tabela de verdade com 4 variáveis de entrada e uma saída.

Há 11 combinações com saída 1. Portanto, um circuito montado a partir da tabela, segundo método já visto, teria 11 portas E de 4 entradas e uma porta OU de 11 entradas.

Por indução, conclui-se que o diagrama de Veitch-Karnaugh para 4 variáveis pode ter pares, quadras e oitavas. São aplicáveis regras similares às vistas no tópico anterior.

Tabela 01
Comb	A	B	C	D	S
0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	1
2	0	0	1	0	1
3	0	0	1	1	1
4	0	1	0	0	0
5	0	1	0	1	1
6	0	1	1	0	0
7	0	1	1	1	1
8	1	0	0	0	1
9	1	0	0	1	1
10	1	0	1	0	0
11	1	0	1	1	1
12	1	1	0	0	1
13	1	1	0	1	1
14	1	1	1	0	0
15	1	1	1	1	1

O diagrama para a tabela é dado em (a) da Figura 01 a seguir.

São identificados 3 grupos:

• par A B C

• quadra A C

• oitava D

Assim, a expressão booleana simplificada é:

S = A B C + A C + D

O circuito correspondente é dado em (b) da mesma figura.

Exemplo de diagrama de Veitch-Karnaugh para 4 variáveis

Fig 01

Repetindo observação do tópico anterior, elementos nas bordas podem formar grupos. Isso deve ser sempre verificado, pois uma única omissão invalida o resultado.

Exemplo de quadras e pares no diagrama de Veitch-Karnaugh

Fig 02

Nos exemplos da Figura 02 (que não têm relação com o circuito anterior), são identificados:

Em (a):

• quadra BD

Em (b):

• quadra BD
• par ABD

Deve-se também observar que o maior grupo possível contém apenas uma variável. O segundo maior contém duas variáveis e assim por diante. Portanto, para melhor simplificação, a identificação dos grupos deve partir dos maiores para os menores.

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