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Determinando circuitos a partir da tabela de verdade
| Topo pág | Fim pág |Em geral, a primeira coisa que se faz no desenvolvimento de circuitos é determinar o que ele deve fazer. Para circuitos lógicos, a tabela de verdade indica isso.
| Comb | A | B | C | S |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 0 |
A tabela ao lado representa um circuito de 3 entradas (A, B e C) e uma saída S.
A coluna Comb significa combinação. É apenas uma numeração seqüencial das combinações das entradas para referências no texto.
Deseja-se desenvolver um circuito lógico que execute a tabela.
O procedimento a seguir descrito é possivelmente um dos mais simples, embora não seja o mais eficiente.
Em primeiro lugar, consideram-se somente as combinações de saída não zero. Elas são as de números 0, 2, 4, 5 e 6.
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| Figura 01 |
Em cada bloco E, são adicionados inversores (blocos NÃO) em cada entrada com valor zero na combinação.
A saída de cada bloco E é ligada à entrada de um bloco OU. A saída desse bloco é a saída S do circuito.
Conforme já dito, este método não é dos mais eficientes. Os circuitos são grandes demais e podem ser mais simples, simplificação esta que é objeto dos próximos tópicos.
Diagramas de Veitch Karnaugh
| Topo pág | Fim pág |O método de Veitch Karnaugh consiste em representar graficamente os valores das variáveis de entrada e os correspondentes valores da saída. A simplificação é obtida pela observação dos grupos formados.
| Comb | A | B | S |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 1 |
Seja a tabela de verdade simples ao lado (Tabela 01), com apenas duas entradas e uma saída.
Na Figura 01 (a), são representados:
• quadrados acima da linha horizontal → A = 0 • quadrados abaixo da linha horizontal → A = 1
• quadrados à esquerda da linha vertical → B = 0 • quadrados à direita da linha vertical → B = 1
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| Figura 01 |
Por exemplo, o quadrado inferior esquerdo é a sobreposição de
A = 1 e B = 0, correspondendo à combinação de número 2 da tabela. A saída respectiva é S = 1 e é indicada no quadrado.Procede-se de forma análoga para as demais combinações da tabela de verdade.
Uma vez inseridas todas as saídas, devem ser identificados todos os pares não diagonais possíveis de valores não nulos, mesmo que sobrepostos.
Há, portanto, dois pares possíveis:
Par 1: equivalente a A
Par 2: equivalente a B.
E a saída é uma função OU dos pares:
S = A + B.Esse resultado é um bloco OU simples, indicado em (b) da Figura 01.
| Comb | A | B | S |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 1 | 1 | 1 |
Considera-se agora a tabela de verdade segundo Tabela 02 deste tópico.
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| Figura 02 |
Neste caso, não há formação de pares.
A saída S = 1 está isolada e deve ser entendida como uma função E das entradas sobrepostas, isto é,
S = A . BO resultado é, portanto, um bloco E simples conforme (b) da figura.
Diagrama de Veitch Karnaugh para 3 variáveis
| Topo pág | Fim pág || Comb | A | B | C | S |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 0 |
A tabela de verdade para o exemplo deste tópico é a mesma usada no tópico Determinando circuitos a partir da tabela de verdade desta página.
O diagrama para as três variáveis é dado em (a) da Figura 01.
O preenchimento é feito de modo similar ao do diagrama de duas variáveis já visto.
Exemplo: a combinação 0 tem A = 0, B = 0 e C = 0. É, portanto, a interseção de A, B e C. Marca-se então 1 no quadrado correspondente porque a saída S tem esse valor segundo a tabela.
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| Figura 01 |
No diagrama de duas variáveis, os grupos de valores 1 só podem se pares. Para três variáveis, podem ser quadras e pares.
As seguintes regras devem ser observadas:
• quadras (e também pares) podem ser formadas por elementos não adjacentes se estiverem na borda (neste caso, são considerados adjacentes).
• pares devem estar fora das quadras ou podem ter um elemento comum. Não valem os pares com os dois elementos no interior de uma quadra.
No diagrama da Figura 01 (a) são identificados:
• par AB (interseção da área A com a área B).
• quadra C (toda na área C).
Portanto, a expressão lógica da saída é S = AB + C. O circuito corresponde é dado em (b) da figura. Comparando com o circuito obtido para a mesma tabela de verdade no tópico Determinando circuitos a partir da tabela de verdade, nota-se que a simplificação é considerável.
Cabe lembrar que o diagrama de Veitch-Karnaugh pode ser construído a partir da expressão booleana no lugar da tabela de verdade. Para o circuito não simplificado do tópico mencionado (Determinando circuitos a partir da tabela de verdade), a expressão lógica é:
S = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C.Basta, portanto, considerar cada parcela como saída 1 no diagrama e os demais quadrados nulos.
Diagrama de Veitch Karnaugh para 4 variáveis
| Topo pág | Fim pág || Comb | A | B | C | D | S |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 6 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 8 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 9 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 10 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 11 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 12 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 13 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 14 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 15 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Seja agora o exemplo, conforme Tabela 01 deste tópico, de uma tabela de verdade com 4 variáveis de entrada e uma saída.
Há 11 combinações com saída 1. Portanto, um circuito montado a partir da tabela, segundo método já visto, teria 11 portas E de 4 entradas e uma porta OU de 11 entradas.
Por indução, conclui-se que o diagrama de Veitch-Karnaugh para 4 variáveis pode ter pares, quadras e oitavas. São aplicáveis regras similares às vistas no tópico anterior.
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| Figura 01 |
São identificados 3 grupos:
• par A B C
• quadra A C
• oitava D
Assim, a expressão booleana simplificada é:
S = A B C + A C + DO circuito correspondente é dado em (b) da mesma figura.
Repetindo observação do tópico anterior, elementos nas bordas podem formar grupos. Isso deve ser sempre verificado, pois uma única omissão invalida o resultado.
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| Figura 02 |
Em (a):
• quadra BD.
Em (b):
• quadra BD.
• par ABD.
Deve-se também observar que o maior grupo possível contém apenas uma variável. O segundo maior contém duas variáveis e assim por diante. Portanto, para melhor simplificação, a identificação dos grupos deve partir dos maiores para os menores.
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