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Eletrônica digital II-10 Álgebra de Boole




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Variáveis e operadores básicos |
Postulados e algumas identidades |
Algumas propriedades e teoremas |
Função booleana e tabela de verdade |


A álgebra de Boole é um conjunto de postulados e operações lógicas com variáveis binárias desenvolvido pelo matemático e filósofo inglês George Boole (1815-1864). As operações básicas dos circuitos digitais são fundamentadas nos seus conceitos, que inclusive guardam alguma (mas não total) semelhança com a álgebra comum dos números reais.

Esta página apresenta algumas informações de forma resumida, sem entrar em detalhes como demonstrações de teoremas e identidades. Alguns outros conceitos e procedimentos relativos à álgebra de Boole são vistos ao longo das páginas sobre circuitos lógicos.



Variáveis e operadores básicos

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Variáveis

Uma variável booleana representa um dígito binário, ou seja, só pode ter os valores 0 ou 1. No conceito matemático, o domínio dessa variável pode ser definido como o conjunto

B = {0, 1}

Portanto, se X é uma variável booleana, X Elemento de B.

São comuns, para os valores 0 e 1, as designações falso e verdadeiro, respectivamente.

Uma variável booleana pode ter mais de um dígito binário. Nesse caso, seu domínio pode ser dado por todas as combinações possíveis de valores 0 e 1 dos dígitos. Exemplo: uma variável de 8 bits (algumas vezes denominada palavra de 8 bits) permite 28 = 256 combinações.


Operações básicas

As operações fundamentais da álgebra de Boole têm semelhança com operações aritméticas comuns, inclusive alguns símbolos são idênticos, mas não são necessariamente coincidentes:


1) Operação OU

É similar à adição comum, mas a correspondência não é plena. Símbolo usual é o mesmo da adição. Exemplo (lê-se X igual a A ou B):

X = A + B

Outro símbolo, comum em linguagem de programação, é a barra vertical:

X = A | B


2) Operação E

É similar à multiplicação comum e há correspondência, como poderá ser visto adiante. Símbolo usual é o mesmo da multiplicação. Exemplo (lê-se X igual a A e B):

X = A · B

Muitas vezes, também de forma semelhante à álgebra comum, o sinal de ponto é suprimido:

X = AB

O caractere e comercial (&) é usado em algumas linguagens:

X = A & B


3) Operação NÃO

Também denominada negação ou complemento, pode ser considerada similar ao negativo da álgebra comum. Entretanto, não há correspondência plena porque a álgebra de Boole não usa sinal negativo. Símbolo usual é uma barra acima (ou antes) da variável. Exemplo (lê-se X igual a não A):

X = A

Alguns outros símbolos são sinal de exclamação e apóstrofo:

X = !A
X = A'



Postulados e algumas identidades

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Os postulados da álgebra de Boole definem os resultados das operações básicas informadas no tópico anterior.

1) Postulados da operação OU

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1

Algumas referências escrevem postulados da adição. Mas a adição booleana, não equivale plenamente à adição comum porque, para esta última, 1 + 1 deve ser 0.


2) Postulados da operação E

0 · 0 = 0
0 · 1 = 0
1 · 0 = 0
1 · 1 = 1

Em algumas referências, são denominados postulados da multiplicação. Há equivalência plena com a multiplicação comum.


3) Postulados da operação NÃO

0 = 1
1 = 0


Omitindo as demonstrações, algumas identidades podem ser deduzidas a partir dos postulados acima:


4) Da operação OU

X + 0 = X
X + 1 = 1
X + X = X
X + X = 1


5) Da operação E

X · 0 = 0
X · 1 = X
X · X = X
X · X = 0


6) Da operação NÃO

  X = X

A relação acima sugere uma semelhança com o negativo da álgebra usual, pois −(−x) = x.



Algumas propriedades e teoremas

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1) Propriedade comutativa

A + B = B + A
A · B = B · A


2) Propriedade associativa

A + (B + C) = A + (B + C) = A + B + C
A · (B · C) = A · (B · C) = A · B · C


3) Propriedade distributiva

A · (B + C) = A·B + A·C


4) Teoremas de Morgan

A + B = A · B
A · B = A + B


5) Outras igualdades

A + A·B = A
A + A·B = A + B
(A + B) · (A + C) = A + B·C



Função booleana e tabela de verdade

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Uma função matemática genérica de um conjunto X para um conjunto Y, f:X → Y, pode ser entendida como uma regra que define um elemento único y elm de Y para cada elemento x elm de X. A notação prática mais comum é y = f(x). Pode-se também dizer que a função faz um mapeamento de x para y.

O conjunto X é denominado domínio da função e o conjunto Y é o seu codomínio.

Seja agora o conjunto das variáveis booleanas B = {0, 1}. Se existem n variáveis, o conjunto de todas as combinações possíveis é simbolizado por Bn (produto cartesiano).


Tabela 01

Uma função booleana é o conjunto de todas as funções que fazem o mapeamento de m variáveis de entrada para n variáveis de saída:

f: Bm → Bn

Na prática, pode-se dizer que é uma função que estabelece uma relação entre um conjunto de m variáveis de entrada com um conjunto de n variáveis de saída.

Desde que os valores das variáveis são discretos (apenas 0 e 1), o mapeamento da função pode ser apresentado em forma tabular, denominada tabela de verdade da função. O quadro Tabela 01 dá um exemplo para três entradas e duas saídas.


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