Eletrônica digital I-10

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Eletrônica digital I-10

Introdução aos números

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Número é um conceito matemático abstrato, mas bastante intuitivo. Pode-se definir como a representação de uma coleção de objetos iguais ou quantidades. São indicados por símbolos denominados algarismos ou dígitos e as palavras que os expressam são ditas numerais.

Seja, por exemplo, uma espécie de objeto representada pela letra grega alfa (α). A coleção ααα é simbolizada por 3α, a coleção ααααα é indicada por 5α e assim sucessivamente.

Na tabela abaixo, a coluna (a) contém coleções sucessivas do objeto mencionado e a coluna (b) dá a representação numérica usual.

Um fato notável ocorre a partir da quantidade 10: em vez de criado um novo algarismo, foram usados dois já existentes. Esse artifício, que forma um sistema de numeração, é fundamental, uma vez que os tamanhos das coleções são ilimitados e, portanto, seria inviável a definição de infinitos símbolos diferentes.

A base de um sistema de numeração corresponde à quantidade de algarismos diferentes que são usados. O sistema padrão de uso cotidiano é denominado decimal porque são usados dez algarismos diferentes (01234567989).

(a) coleção	(b) decimal	(c) octal	(d) hexadecimal	(e) binário
	0	0	0	0
α	1	1	1	1
αα	2	2	2	10
ααα	3	3	3	11
αααα	4	4	4	100
ααααα	5	5	5	101
αααααα	6	6	6	110
ααααααα	7	7	7	111
αααααααα	8	10	8	1000
ααααααααα	9	11	9	1001
αααααααααα	10	12	A	1010
ααααααααααα	11	13	B	1011
αααααααααααα	12	14	C	1100
ααααααααααααα	13	15	D	1101
αααααααααααααα	14	16	E	1110
ααααααααααααααα	15	17	F	1111
αααααααααααααααα	16	20	10	10000
ααααααααααααααααα	17	21	11	10001
αααααααααααααααααα	18	22	12	10010

Sistemas de numeração podem ser definidos com qualquer base, desde que maior que a unidade. Na coluna (c) da tabela, são usados os mesmos algarismos do sistema decimal, mas apenas até o 7. Isso forma o sistema de base oito ou octal de numeração. Portanto, 10 nessa base corresponde ao 8 decimal, 11 ao 9, etc.

A coluna (d) da tabela mostra o sistema hexadecimal. Ele usa todos os algarismos do sistema decimal mais a seis primeiras letras do alfabeto para formar a base de tamanho 16.

A menor base possível é constituída por dois dígitos diferentes, quase sempre representada pelos dois primeiros algarismos do sistema decimal (0 e 1). É o sistema binário de numeração, conforme exemplo da coluna (d) da tabela.

Formação do número

Pode-se facilmente concluir que a lei de formação de um número inteiro N corresponde à seguinte identidade aritmética:

N = … + a₂ b² + a₁ b¹ + a₀ b⁰ #A.1#. Onde a_i são os algarismos e b é a base.

Exemplo: o número decimal 354 corresponde a 3 10² + 5 10¹ + 4 10⁰. Por essa formação, no caso de números decimais, costuma-se dizer que, da direita para a esquerda, o primeiro algarismo indica unidade (10⁰ = 1), o segundo indica dezena (10¹ = 10), o terceiro indica centena (10² = 100), etc.

Identificação da base

De acordo com a convenção clássica, um número N em uma base b é representado na forma

N_b #B.1#.

Exemplo: conforme a décima primeira linha da tabela acima, ocorrem as equivalências nas diferentes bases:

10₁₀ = 12₈ = A₁₆ = 1010₂.

Na prática, os números decimais são escritos sem o índice porque formam a base usual. Em Eletrônica Digital e em Informática são comuns notações para evitar caracteres subscritos de índices. Exemplo: em linguagem C, base octal é identificada pelo prefixo 0 (035, 021, etc) e base hexadecimal pelo prefixo 0x (0x11, 0xCC, etc). Números binários são normalmente escritos sem o índice 2 da base porque a própria seqüência de dígitos 0 e 1 é, em geral, suficiente para identificá-los. Naturalmente, faz-se alguma observação se houver possibilidade de confusão com a base decimal.

Circuitos digitais operam com fundamentos no sistema binário de numeração. Os sistemas octal e hexadecimal são usados para representar números binários de forma compacta. As suas bases são potências inteiras de 2 (8 = 2³ e 16 = 2⁴), possibilitando, ao contrário da base 10, conversões rápidas e fáceis.

Conversão para o sistema decimal

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Desde que as operações aritméticas usuais são executadas em números decimais, a conversão de qualquer base para a decimal é simples, bastando usar a lei de formação dada em #A.1# do tópico anterior.

• Exemplo de número binário: seja N = 11001001.

Segundo a lei de formação mencionada, os expoentes da base começam de zero a partir da direita,

N = 1 2⁷ + 1 2⁶ + 0 2⁵ + 0 2⁴ + 1 2³ + 0 2² + 0 2¹ + 1 2⁰ = 1 128 + 1 64 + 0 32 + 0 16 + 1 8 + 0 4 + 0 2 + 1 1 = 201

• Exemplo de número octal: Seja N = 311₈. Assim,

N = 3 8² + 1 8¹ + 1 8⁰ = 3 64 + 1 8 + 1 1 = 201

• Exemplo de número hexadecimal: Seja N = C9₁₆. Então,

N = C 16¹ + 9 16⁰ = 12 16 + 9 1 = 201 (lembrar que o dígito C corresponde a 12 em decimal. Ver tabela do tópico anterior).

No caso de números fracionários, pode-se usar o mesmo procedimento, lembrando que, após a vírgula, os expoentes são negativos e a lei de formação pode ser assim escrita:

N = ... + a₂ b² + a₁ b¹ + a₀ b⁰ + a₋₁ b⁻¹ + a₋₂ b⁻² + ...#A.1#

Onde os dígitos com índice negativo estão após a vírgula.

• Exemplo de número binário fracionário: Seja N = 111,001. Então,

N = 1 2² + 1 2¹ + 1 2⁰ + 0 2⁻¹ + 0 2⁻² + 1 2⁻³ = 1 4 + 1 2 + 1 1 + 0 0,5 + 0 0,25 + 1 0,125 = 7,125

Conversão entre binário, octal e hexadecimal

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Conforme já mencionado, a conversão entre essas bases é fácil devido à relação com potências inteiras de base binária (2).

Na conversão entre octal e binário, pode ser usada a Tabela 01, que mostra a equivalência entre dígitos octais e binários já vista no primeiro tópico. Nessa tabela são acrescentados, onde necessário, zeros à esquerda para formar grupos de três dígitos binários.

Hexadecimal   Binário

    0         0000
    1         0001
    2         0010
    3         0011
    4         0100
    5         0101
    6         0110
    7         0111
    8         1000
    9         1001
    A         1010
    B         1011
    C         1100
    D         1101
    E         1110
    F         1111

Tabela 01

Adota-se a seguinte regra: cada dígito octal equivale a três binários conforme tabela e vice-versa.

Exemplo: seja N = 311₈. Na conversão para binário, basta substituir cada dígito octal pelo grupo de três binários da tabela. Portanto,

311₈ = 011 001 001. Eliminando os espaços e zeros à esquerda, 11001001.

Na operação inversa, separam-se os dígitos binários em grupos de três dígitos, com adição, se necessário, de zeros à esquerda para o último grupo da esquerda. E os dígitos octais são os correspondentes na tabela. Assim,

11001001 = 011 001 001 = 311₈

A conversão entre hexadecimal e binário usa procedimento similar ao anterior. Enquanto, para a octal, são usados grupos de três dígitos binários (porque 8 = 2³), para a hexadecimal, são grupos de quatro (porque 16 = 2⁴).

Assim, cada dígito hexadecimal equivale a quatro dígitos binários conforme Tabela 02 e vice-versa.

Hexadecimal   Binário

    0         0000
    1         0001
    2         0010
    3         0011
    4         0100
    5         0101
    6         0110
    7         0111
    8         1000
    9         1001
    A         1010
    B         1011
    C         1100
    D         1101
    E         1110
    F         1111

Tabela 02

Exemplo: seja N = C9₁₆. Substituindo de acordo com a tabela,

C9₁₆ = 1100 1001. Eliminando espaços, C9₁₆ = 11001001.

Na operação inversa, basta separar os dígitos binários em grupos de quatro, com adição de zeros à esquerda para o último, se necessário, e obter a equivalência na tabela.

11001001 = 1100 1001 = C9₁₆

Outro exemplo: 110011 = 0011 0011 = 33₁₆.

Para a conversão entre octal e hexadecimal, em vez de uma regra própria, é mais fácil usar o procedimento indireto, com a conversão auxiliar para binário.

Exemplo: das conversões anteriores, conclui-se que 311₈ = C9₁₆

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