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Diagrama de Bode: exemplo 1 (continuação)

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Na seqüência deste tópico, repete-se a igualdade da amplitude em db (#A.7#) da página anterior:

#A.9#

Figura 02

Considerando o valor atribuído a z₁ (100), a segunda parcela da soma é

A1(ω)db = 20 log|1 + jω/100|  #A.10#

O gráfico correspondente é dado na Figura 02.

Para pequenos valores de ω, isto é, ω<<z₁ (100 neste caso),

|1 + jω/100| ≈ 1 

E a curva tende a uma reta sobre o eixo horizontal (0 db).

Na situação inversa, isto é, ω>>z₁, |1 + jω/100| ≈ |jω/100|, e a curva tende a uma reta com inclinação de 20 db por década de variação de ω com relação a z₁.

Para ω = z₁, pode-se calcular o valor:

A1(100)db = 20 log|1 + j100/100| ≈ 3 db.

Esse valor de ω é denominado freqüência de corte ou freqüência crítica.

Figura 03

A terceira parcela da soma de A(ω)_db é

A2(ω)db = −20 log|jω|  #A.11#

O gráfico correspondente da Figura 03 demonstra que é uma reta com inclinação negativa de −20 db por década de variação de ω.

Repetindo a fórmula inicial da resposta de freqüência, dada na página anterior,

#A.12#

Essa parcela decorre do termo jω, que é um pólo na origem 0.

Conforme página anterior, p₁ = 200. Portanto, a quarta parcela da soma de A(ω)_db é:

A3(ω)db = −20 log|1 + jω/200|  #A.13#

Figura 04

O gráfico da variação dessa parcela em relação a ω é dado na Figura 04.

Na situação de ω<<p₁ (= 200 neste exemplo), ocorre:

|1 + jω/200| ≈ 1 

E a curva tende a uma linha horizontal em 0 db.

Se ω>>p₁,

|1 + jω/200| ≈ |jω/200|

E a curva tende a uma reta com inclinação −20 db por década de variação de ω.

Para ω = p₁ (freqüência crítica), o valor da resposta é:

A3(200)db = −20 log|1 + j200/200| ≈ −3 db.

A análise de #A.12# mostra que a curva acima é contribuição do termo (jω + p₁), isto é, um pólo não nulo. É um efeito oposto ao da Figura 02, que corresponde a um zero não nulo.

Encerradas as análises das partes, o próximo passo é traçar o diagrama da resposta de amplitude (igualdade #A.9#), que é a soma das parcelas anteriores. E também o diagrama da resposta de fase, de acordo com a relação já vista na página anterior:

#A.14#

Figura 05

Na prática, não há necessidade de todo esse desenvolvimento de equações. O diagrama de Bode completo (amplitude e fase) pode ser obtido diretamente da função de transferência, com o emprego de um aplicativo matemático. Neste exemplo foi usado o GNU Octave, que é uma alternativa de software livre para o MatLab.

Conforme página anterior,

#A.15#

Substituindo os valores informados de K, z₁ e p₁,

#A.16#

E o diagrama é obtido com apenas três linhas de código:

L=tf(4*[1 100],[1 200 0]);
bode(L);
print('ctrl_bode_51.ps', '-deps');

A primeira linha define a função de transferência de acordo com a constante K e os coeficientes do numerador e do denominador. A segunda linha gera o diagrama e a terceira grava no arquivo de nome ctrl_bode_51.ps.

A Figura 05 mostra o diagrama obtido, com algumas modificações nas posições dos textos e na espessura das linhas.


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