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Diagramas de Bode

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Seja uma função de transferência genérica

#A.1#

Conforme já visto, a resposta de freqüência na forma exponencial é

#A.2#. Onde:

A(ω): resposta de amplitude.
φ(ω): resposta de fase.

As funções acima são as características da resposta de freqüência. O diagrama de Bode representa essas funções em gráficos na forma:

• ω: eixo horizontal, escala logarítmica.
• A(ω): eixo vertical, escala logarítmica.
• φ(ω): eixo vertical, escala linear.

O método expande a função G(jω) em um produto de funções mais simples, de forma que

#A.3#

A amplitude é normalmente indicada em decibéis, com uma referência unitária. Considerando a definição de decibel, será usada a notação:

#A.4#

Considerando que o logaritmo do produto é a soma dos logaritmos, da relação #A.3# pode ser deduzido:

#A.5#

Para a resposta de fase,

#A.6#

Diagrama de Bode: exemplo 1

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Seja o sistema dado pela função de transferência:

#A.1#

A resposta de freqüência é obtida pela substituição de s por jω:

#A.2#

Essa função pode ser rearranjada para uma forma normalizada:

#A.3#

Para este caso, é usual representar os números complexos na forma polar, que usa os mesmos parâmetros da forma exponencial. Lembrando as relações,

a + jb = |a + jb| φ. Onde |a + jb| = √(a2 + b2) e φ = tan−1 (b/a).

E a igualdade anterior pode ser escrita:

#A.4#


Segundo #A.2# do tópico anterior, a resposta de amplitude é

#A.5#

E a resposta de fase é

#A.6#

Voltando à resposta de amplitude (igualdade #A.5#), o valor em decibéis, conforme visto no tópico anterior, é dado por:

#A.7#

Figura 01

Consideram-se agora os seguintes valores numéricos:

K = 4
z1 = 100
p1 = 200
K0 = 4 100/200 = 2, segundo #A.3#

Com esses valores, analisam-se as parcelas de A(ω)_db conforme igualdade #A.7#. Elas serão simbolizadas por A0(ω)db, A1(ω)db, etc.

A primeira parcela é:

A0(ω)db = 20 log K0 = 20 log 2 ≈ 6,02  #A.8#.


Essa parcela não depende de ω e, no gráfico, corresponde a uma linha horizontal conforme Figura 01. Observar que ela tem origem em um termo constante (K₀) segundo a função normalizada da relação #A.3#.

A₀(ω)_db pode ser nulo se K₀ = 1 e também pode ser negativo se 0 ≤ K₀ ≤ 1.

Este tópico continua na próxima página.

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