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Resposta de freqüência e diagrama de Nyquist

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Seja um sistema genérico com a função de transferência:

G(s) =	Y(s)		#A.1#
	X(s)

Considerando as partes real (σ) e imaginária (ω) da variável complexa s, pode-se escrever a função de transferência:

G(σ + jω)  #A.2#.

Para o caso particular de σ = 0, a função G(jω) é denominada resposta de freqüência do sistema.

Desde que o valor retornado pela função de transferência é também um número complexo, ele pode ser separado nas partes real R(ω) e imaginária I(ω), isto é,

G(jω) = R(ω) + jI(ω)  #A.3#.

Representando na forma exponencial do número complexo,

G(jω) = A(ω) ejφ(ω)  #A.4#. Onde:

A(ω) =	√[ R2(ω) + I2(ω) ]	#A.5#:	Resposta de amplitude.
φ(ω) =	tan−1 I(ω)/R(ω)	#A.6#:	Resposta de fase.

Figura 01

Seja agora a resposta ao degrau unitário H(s) do sistema. Neste caso,

X(s) = 1/s e, portanto, H(s) = (1/s) G(s)  #B.1#.

Então, de acordo com os teoremas do valor inicial e do valor final,

limt→0 h(t) = lims→∞ sH(s) =
lims→∞ G(s) = limjω→∞ G(jω)  #B.2#.

limt→∞ h(t) = lims→0 sH(s) =
lims→0 G(s) = limjω→0 G(jω)  #B.3#.

Em (a) da Figura 01 é dado um exemplo de resposta ao degrau unitário, com indicação dos valores no tempo zero e no tempo infinito.

A curva de (b) da figura é supostamente a resposta de freqüência G(jω) no plano complexo para esse sistema.

Esse gráfico é denominado diagrama de Nyquist para a resposta de freqüência. Notar que, nos pontos extremos, há correspondência de valores segundo relações #B.2# e #B.3#.

Figura 02

Nos casos de combinações em paralelo ou em série de sistemas, o diagrama de Nyquist permite a determinação gráfica da resposta de freqüência do conjunto se as respostas individuais são conhecidas.

Na Figura 02, as curvas são apenas ilustrativas e ω_n é uma freqüência genérica.

Em (a) da figura, os sistemas estão em paralelo e o resultado é a soma. Se a mesma freqüência ω_n está nos pontos indicados em G₁(jω) e em G₂(jω), o ponto correspondente na curva da soma é dado pela soma vetorial conforme indicado.

Para o caso de combinação em série como em (b) da figura, o vetor correspondente na curva do produto deve ter módulo igual ao produto dos módulos dos vetores em G₁(jω) e em G₂(jω) e ângulo igual à soma dos ângulos de cada.

Notar que, conforme informado, as curvas são apenas para ilustração. Não há relação em escala de desenho para as operações.


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