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Esta é a função de transferência para um sistema básico de segunda ordem conforme já visto em página anterior:

G(s) =	Y(s)	= K	ωn2		#A.1#. Onde:
	X(s)		s2 + 2ζωns + ωn2

ωn : freqüência natural de oscilação (sem amortecimento).
ζ  : fator de amortecimento.

Se, em vez do degrau unitário, a entrada é a função delta (ou função impulso), x(t) = δ(t), ocorrendo X(s) = 1 e a saída (considerando K unitário) é dada por:

Y(s) = G(s) 1	=	ωn2		#A.2#
		s2 + 2ζωns + ωn2

Sem menção da demonstração matemática, a resposta temporal para o impulso na condição subamortecida é:

y(t) =	ωn	e−ζωnt sen(βωnt)	#B.1#. Onde:
	β

β = √(1 − ζ2)	#B.2#.
0 < ζ < 1	#B.3# (sistema subamortecido).

A semelhança desse resultado com a resposta ao degrau vista em página anterior é evidente. As diferenças mais visíveis são a ausência do ângulo de defasagem θ e o valor final zero e não um.

Figura 01

Conforme já mencionado, a localização dos pólos no plano complexo dá uma clara idéia do comportamento do sistema.

A Figura 01 faz uma comparação ilustrativa, sem nenhuma correspondência com escalas numéricas nos eixos.

Todos os gráficos referem-se a respostas ao impulso.

Os círculos com ponto central indicam as localizações de um dos pólos (são pares para sistemas de segunda ordem).

Sistemas com pólos à direita do eixo jω são instáveis. Se os pólos estão sobre o eixo jω (parte real nula), não há amortecimento. Sistemas com pólos à esquerda de jω (parte real negativa) são amortecidos, podendo oscilar ou não oscilar, a depender de pólos complexos ou não. O amortecimento aumenta com o aumento da distância em relação a jω.


Repetindo a relação #B.1#, em determinado instante t, a resposta ao impulso é:

y(t) = (ωn/β) e−ζωnt sen(βωnt)  #C.1#.

O ciclo seguinte terá início num tempo t' tal que:

βωnt' = βωnt + 2π . Portanto, t' = t + 2π/(βωn)  #C.2#.

Portanto,

y(t') = (ωn/β) e−ζωn[t + 2π/(βωn)] sen(βωnt + 2π)  #C.3#.

y(t') = (ωn/β) e−ζωnt − 2πζ/β sen(βωnt + 2π)  #C.4#.

Considerando a identidade trigonométrica sen(βωnt) = sen(βωnt + 2π), a divisão de #C.1# por #C.4# dá o resultado:

y(t)	= e2πζ/β		#C.5#
y(t')

Usando o logaritmo e substituindo o valor de β segundo #B.2#,

ln(	y(t)	) =	2πζ		#C.6#
	y(t')		√(1 − ζ2)

Esse parâmetro é denominado fator de redução de amplitude.

Figura 02

Exemplo: no circuito RLC da Figura 02 são dados:

R = 0,02 Ω.
L = 5 µH.
C = 20 mF.

Determinar a freqüência natural de oscilação e o fator de amortecimento.

Para a solução, consideram-se as impedâncias de cada elemento conforme página Transformada de Laplace II-10.

ZR(s) = R. Portanto, VR(s) = R I(s).
ZL(s) = Ls. Portanto, VL(s) = Ls I(s).
ZC(s) = 1/Cs. Portanto, VC(s) = (1/Cs) I(s).

A entrada é supostamente v_i(t) e a saída v_C(t). Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff e a transformada de Laplace,

Vi(s) = VR(s) + VL(s) + VC(s) = R I(s) + Ls I(s) + VC(s).

Mas I(s) = Cs VC(s). Substituindo,

Vi(s) = R Cs VC(s) + LC s2 VC(s) + VC(s). Isolando V_C(s) e dividindo tudo por LC,

Vi(s) (1/LC) = [(R/L) s + s2 + 1/LC] VC(s).

E a função de transferência é dada por:

G(s) =	VC(s)	=	1/LC
	Vi(s)		s2 + (R/L) s + 1/LC

Comparando essa igualdade com #A.1#, conclui-se que:

ωn2 = 1/LC.
2ζωn = R/L. Resolvendo, ζ = R / √(4L/C).

Calculando os valores,

ωn2 = 1/(5 10−6 20 10−3). Ou ωn ≈ 3162 rad/s.

ζ = 0,02 / √(4 5 10−6/20 10−3) ≈ 0,632.


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