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Sistemas de controle II-20Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Sistemas de segunda ordem |
Seja um sistema de segunda ordem definido pela função de transferência:
| G(s) = | Y(s) | = | b0 | #A.1# | |
| X(s) | s2 + a1s + a0 |
De modo similar ao do sistema de primeira ordem já visto na página anterior, as constantes dessa igualdade são redefinidas para indicar parâmetros físicos usuais. Assim,
| G(s) = | Y(s) | = K | ωn2 | #A.2#. Onde: | |
| X(s) | s2 + 2ζωns + ωn2 |
ωn : freqüência natural de oscilação (sem amortecimento).ζ : fator de amortecimento.Os pólos são dados pelas raízes da equação característica,
s2 + 2ζωns + ωn2 = 0 #B.1#, que é uma equação comum do segundo grau. Assim,p1, p2 = − ζωn ± ωn √(ζ2 − 1) #B.2#.
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| Figura 01 |
• Se
0 < ζ < 1, o sistema é dito subamortecido e as raízes são conjugados complexos dados por:p1, p2 = − ζωn ± j ωn √(1 − ζ2) #C.1#.Indicação gráfica na Figura 01 (a).
• Se
ζ = 1, o sistema é dito criticamente amortecido e as raízes são reais e iguais conforme:p1, p2 = − ζωn #C.2#.• Se
ζ > 1, o sistema é superamortecido e as raízes são reais e diferentes segundo a igualdade:p1, p2 = − ζωn ± ωn √(ζ2 − 1) #C.3#.A parte (b) da Figura 01 ilustra os dois últimos casos.
A resposta ao degrau unitário é obtida com
x(t) = u(t). Assim, X(s) = 1/s. Substituindo em #A.2#,| Y(s) = G(s) | 1 | = | ωn2 | #D.1# | |
| s | s(s2 + 2ζωns + ωn2) |
Omitindo a demonstração, o resultado para a transformada inversa é:
| y(t) = | 1 − | 1 | e−ζωnt sen(βωnt + φ) | #D.2#. Onde: |
| β |
β = √(1 − ζ2) #D.3#. φ = arctan (β/ζ) #D.4#. 0 < ζ < 1 #D.5# (sistema subamortecido).
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| Figura 02 |
y(t) = 1 − (A + Bt) e−ωnt #E.1#. Onde:A = y(0) #E.2#. B = y'(0) + y(0) ωn #E.3#.
Para o sistema superamortecido (ζ > 1),
y(t) = 1 − A ep1t − B ep2t #F.1#. Onde:A = y(0) + [p1y(0) − y'(0)]/(p2 − p1) #F.2#.B = [p1y(0) − y'(0)]/(p2 − p1) #F.3#.p1, p2 conforme #C.3#.
A Figura 02 mostra curvas para alguns valores do fator de amortecimento ζ, de acordo com as equações anteriores, considerando ωn = 1. Todas tendem para 1, que é a resposta de estado estacionário do sistema. A situação de amortecimento crítico (ζ = 1) é a que atinge a resposta estacionária no menor tempo, sem oscilar (exemplo de aplicação prática: dispositivos de fechamento de portas, que devem operar nessa condição para fechar no menor tempo e não bater).
A Figura 03 mostra a resposta temporal y(t) ao degrau unitário de um sistema subamortecido segundo equação #D.2#, com fator de amortecimento ζ = 0,3 e freqüência natural ωn = 1. Esse gráfico tem o propósito de auxiliar a definição de alguns parâmetros de desempenho de sistemas de controle, conforme a seguir descritos.
yss é a resposta de estado estacionário (1, neste caso), de modo similar ao do sistema de primeira ordem visto na página anterior. Também denominado valor final.Notar que, também de forma similar à do anterior, a constante de tempo do decaimento exponencial pode ser deduzida a partir da equação #D.2#, ou seja,
τ = 1/(ζ ωn) #G.1#.
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| Figura 03 |
tr tempo de subida (rise time): é o intervalo de tempo necessário para a resposta variar de 10% a 90% do valor final.ts tempo de acomodação (settling time): tempo necessário para a resposta ficar dentro de uma faixa do valor final, em geral de ±2% a ±5%. Também pode ser definido por quatro constantes de tempo, isto é,ts = 4τ = 4/(ζ ωn) #G.2#.td tempo de atraso (delay time): tempo necessário para a resposta chegar a 50% do valor final.Mpt valor de pico (maximum value): maior valor da resposta. Ver figura. Tempo de pico tp é o tempo correspondente.
Mp sobre-sinal máximo (overshoot): diferença entre o valor de pico e o valor final. É usual a indicação em termos percentuais:PO = 100 (Mpt − yss) / yss #G.3# (PO: percent overshoot).O valor máximo é determinado por y'(t), que deve ser nula para t = tp. Omitindo o desenvolvimento, a derivada de #D.2# em relação ao tempo é:
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| Figura 04 |
dy(t)/dt = (ωn/β) e−ωnt sen βωnt #H.1#.Para
dy(t)/dt = 0, deve-se ter sen βωnt = 0.βωntp = π. Lembrando a definição de β segundo #D.3#,| tp = | π | #H.2# | |
| ωn √(1 − ζ2) |
| ωn tp = | π | #H.3# | |
| √(1 − ζ2) |
Substituindo o valor de tp em #D.2#,
Mpt = 1 + e−ζπ/√(1 − ζ2) #H.4#. Portanto,PO = 100 e−ζπ/√(1 − ζ2) #H.5#.Observa-se então que o percentual de overshoot depende apenas do fator de amortecimento ζ. A Figura 04 exibe gráfico desse valor e também de ωn tp em relação a ζ.
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| Figura 05 |
Usando relações trigonométricas,
| tan θ = | √(1 − ζ2) | #I.1# | |
| ζ |
Essa igualdade pode ser simplificada para:
cos θ = ζ #I.2#
Considerando #H.5#, o percentual de overshoot pode ser dado por:
PO = 100 e−π/tan θ #J.1#.De #G.2#, a relação do tempo de acomodação com a parte real dos pólos (−ζωn) é:
−ζωn = − 4/ts #J.2#.
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| Figura 06 |
m = 100 kg.
k = 1600 N/m.
Dimensionar c para PO igual a 10%.
Das relações físicas da mecânica,
100 x''(t) + c x'(t) + 1600 x(t) = f(x)
Dividindo tudo por m (100 kg),
x''(t) + (c/100) x'(t) + 16 x(t) = (1/1600) 16 f(x).Aplicando a transformada de Laplace,
[s2 + (c/100) s + 16] X(s) = (1/1600) 16 F(s).Essa relação conduz à função de transferência conforme #A.2# com os parâmetros:
ωn2 = 16 e, portanto, ωn = 4.(c/100) = 2 ζ ωn = 8 ζ.Para um percentual de overshoot igual a 10%, segundo o gráfico da Figura 04 (ou calculando pela fórmula):
ζ ≈ 0,6. Portanto, (c/100) = 8 0,6 = 4,8 e o coeficiente de amortecimento é c = 480 N s/m.Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Mai/2008
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