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Sistemas de controle II-10Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Sistemas de primeira ordem |
O sistema genérico de (a) da Figura 01 é supostamente de primeira ordem. Considerando a função de transferência estritamente própria, ela deve ter a forma:
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| Figura 01 |
| G(s) = | Y(s) | = | b0 | #A.1# |
| X(s) | s + a0 |
A variável complexa s, na notação correspondente, é usualmente representada por:
s = α + jσ #A.2#O único pólo (raiz do polinômio do denominador) de G(s) é
s = −a0, que está genericamente indicado no plano s conforme (b) da mesma figura.Na relação #A.1#, é mais usual considerar duas constantes τ e K tais que:
τ = 1/a0 #B.1#K = b0 τ #B.2#. Portanto, a relação #A.1# fica:| G(s) = | Y(s) | = | K | #B.3# |
| X(s) | τs + 1 |
Rearranjando a igualdade,
s Y(s) + (1/τ) Y(s) = (K/τ) X(s) #B.4#.E a transformada de Laplace inversa permite obter a função de domínio de tempo:
y'(t) + (1/τ) y(t) = (K/τ) x(t) #C.1#.Comparando #C.1# com #B.4#, nota-se que, nesta última, falta a condição inicial decorrente da transformada de Laplace da derivada y'(t). Portanto, considerando a condição inicial, #B.4# deve ficar:
s Y(s) − y(0) + (1/τ) Y(s) = (K/τ) X(s) #C.2#.Reagrupando #C.2#,
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| Figura 02 |
| Y(s) = | 1 | y(0) + | K/τ | X(s) | #C.3# |
| s + 1/τ | s + 1/τ |
Por essa relação, o sistema pode ser considerado a superposição de dois conforme Figura 02:
• Resposta livre é a parcela referente à condição inicial y(0), na parte superior da figura.
• Resposta forçada é a parcela referente à entrada X(s), conforme parte inferior da figura.
Esses conceitos são genéricos, válidos para sistemas de quaisquer ordem.
Consideram-se agora as hipóteses:
• Condição inicial nula
y(0) = 0.• Entrada é a função degrau unitário
x(t) = u(t). Portanto, X(s) = 1/s. Ver Transformada de Laplace I-10.Substituindo esses valores em #C.3#,
| Y(s) = | K/τ | 1 | = | K | − | K | #D.1# | ||
| s + 1/τ | s | s | s + 1/τ |
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| Figura 03 |
y(t) = K − K e−t/τ = K(1 − e−t/τ) #D.2#.Gráfico dessa função pode ser visto na Figura 03.
Pode-se observar em #D.2# que essa resposta forçada tem duas parcelas:
•
− K e−t/τ, denominada resposta transitória.•
K, denominada resposta de regime estacionário.
Similar aos anteriores, esses conceitos são aplicáveis a sistemas de ordens superiores.
O parâmetro τ é denominado constante de tempo do sistema. Calculando a derivada de y(t) para t = 0 segundo #D.2#, chega-se a:
y'(0) = K/τ #E.1#.Esse valor é, portanto, a inclinação da tangente à curva na origem (reta OA da Figura 03).
Naturalmente, de acordo com a formulação matemática de #D.2#, o sistema só atinge a resposta estacionária após um tempo infinito. Após uma constante de tempo, ele terá
1 − e−1 ≈ 0,63 ou 63%. Na prática, é usual dizer que o sistema atinge o estado estacionário após quatro constantes de tempo.O valor da função de transferência para s = 0, isto é, G(0) é denominado ganho DC. É igual à resposta, para o degrau unitário, de regime estacionário do sistema, desde que esse valor exista.
No sistema em estudo, de acordo com #B.3#,
G(0) = K, confirmando a afirmação anterior.Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Mai/2008
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