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Função de transferência
| Topo pág | Fim pág |De forma genérica, o comportamento de um sistema linear que produz uma saída y(t) em resposta a uma entrada x(t), como em (a) da Figura 01, é descrito por equações diferenciais lineares:
| an | dny(t) | +...+ a1 | dy(t) | + a0 y(t) | = | bm | dmx(t) | +...+ b1 | dx(t) | + b0 x(t) | #A.1# |
| dtn | dt | dtm | dt |
Aplicando a transformada de Laplace a ambos os lados dessa igualdade e supondo nulas todas as condições iniciais,
Y(s) [ ansn + ... + a1s + a0 ] = X(s) [ bmsn + ... + b1s + b0 ] #A.2#.Reagrupando essa igualdade e acrescentando algumas definições,
| G(s) = | Y(s) | = | bmsm + ... + b1s + b0 | = | N(s) | #A.3# | |
| X(s) | ansn + ... + a1s + a0 | D(s) |
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| Figura 01 |
A função G(s) é denominada função de transferência do sistema. Assim, para um sistema genérico como em (b) da Figura 01, a relação entre saída e entrada no domínio da variável complexa s é dada por:
Y(s) = G(s) X(s) #A.4#
Aplicando o teorema da convolução à igualdade anterior,
L−1{G(s) X(s)} = y(t) = ∫0...t g(t − τ) x(τ) dτ #B.1#.Naturalmente, a função g(t) é a transformada inversa de G(s):
g(t) = L−1{ G(s) } #B.2#.Considerando agora a entrada igual à função delta (ou função impulso), isto é,
x(t) = δ(t), a transformada é unitária, ou seja,L{ x(t) } = L{ δ(t) } = 1.Conforme #A.4#,
Y(s) = G(s). Usando #B.2#,g(t) = y(t) para x(t) = δ(t) #B.3#.Por essa relação, a função
g(t) é denominada resposta ao impulso. Em outros termos, pode-se dizer que a função de transferência é a transformada de Laplace da resposta ao impulso do sistema.Reescrevendo a igualdade #A.3#,
| G(s) = | N(s) | = | bmsm + ... + b1s + b0 | #C.1#. | |
| D(s) | ansn + ... + a1s + a0 |
O valor m é o grau do polinômio N(s) e n é o grau do polinômio D(s).
Seguem algumas definições e conceitos:
• G(s) é própria se
m ≤ n.• G(s) é estritamente própria se
m < n. Nessa condição, G(s) → 0 se s → ∞.• As raízes de N(s) são os zeros de G(s).
• As raízes de D(s) são os pólos de G(s).
• O denominador D(s) é denominado polinômio característico.
Em alguns casos, é usual representar a função de transferência em forma fatorada:
| G(s) = | N(s) | = k0 | (s − z1) (s − z2) ... (s − zm) | #C.2#. | |
| D(s) | (s − p1) (s − p2) ... (s − pn) |
Onde zi e pi são os zeros e pólos conforme já visto. Conclui-se, portanto, que um sistema linear invariável com o tempo é completamente descrito por seus zeros e pólos e pelo fator de ganho k0.
Combinações de funções de transferência
| Topo pág | Fim pág |Conforme já comentado em página anterior, sistemas práticos são muitas vezes formados por combinações de sistemas elementares. Neste tópicos são comentadas as operações básicas, com a suposição de funcionamento ideal, isto é, as ligações entre blocos não afetam os sinais envolvidos.
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| Figura 01 |
Na ligação conforme Figura 01,
Y(s) = Y2(s) = G2(s) X2(s).Y(s) = G2(s) G1(s) X1(s) = G2(s) G1(s) X(s).
| Portanto, a função equivalente é | G(s) = | Y(s) | = | G1(s) G2(s) | #A.1#. |
| X(s) |
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| Figura 02 |
De acordo com a Figura 02,
Y(s) = Y1(s) + Y2(s).Y1(s) = G1(s) X1(s) = G1(s) X(s).Y2(s) = G2(s) X2(s) = G2(s) X(s).
Y(s) = Y1(s) + Y2(s) = G1(s) X(s) + G2(s) X(s) = [ G1(s) + G2(s) ] X(s).A função equivalente é
G(s) = G1(s) + G2(s) #B.1#.Naturalmente, pode ser a diferença se o ponto de soma tiver um sinal negativo.
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| Figura 03 |
Conforme Figura 03,
X1(s) = X(s) − Y2(s).Y2(s) = G2(s) X2(s) = G2(s) Y(s).
Y(s) = Y1(s) = G1(s) X1(s) = G1(s) [ X(s) − G2(s) Y(s) ] = G1(s) X(s) − G1(s) G2(s) Y(s).| A função de transferência equivalente é | G(s) = | Y(s) | = | G1(s) | #C.1#. |
| X(s) | 1 + G1(s) G2(s) |
Essa configuração é denominada realimentação negativa porque X(s) é subtraído de X2(s). Se o sinal do ponto de soma for positivo para Y2(s), haverá uma realimentação positiva e o sinal no denominador de #C.1# deverá ser negativo.
Seja o caso particular de G1(s) ser um amplificador linear de ganho A muito grande, isto é, A → ∞:
| G(s) = | Y(s) | = | A | = | 1 | ≈ | 1 | #C.2#. |
| X(s) | 1 + A G2(s) | (1/A) + G2(s) | G2(s) |
Esse é o princípio de operação dos amplificadores operacionais, onde o bloco G2(s) pode, dentro de certos limites práticos, desempenhar o trabalho de uma variedade de funções.
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